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Mit folgendem Nachschlagewerk versuchte ich dieser Frage auf den Grund zu gehen:
Schueler-Duden
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Die Beantwortung Ihrer Frage ist Teil eines Forschungsprojekts zur Verständlichkeit von grammatischen Erklärungen. Wir bitten Sie deshalb darum, im Anschluss an die Lektüre der Antwort die Tools zur Bewertung (Fragebogen, Sternchenfunktion, Antwortoption) zu nutzen.
Sprachsystem
Aus sprachsystematischer Sicht sind grundsätzlich beide Varianten möglich, sowohl „eine Tasse schwarzer Kaffee“ als auch „eine Tasse schwarzen Kaffees“. Beiden Varianten liegen jedoch unterschiedliche grammatische Verhältnisse zugrunde, die wir nachfolgend erklären wollen.
Bei Ihrem Beispiel handelt es sich um eine partitive Apposition (= eine Beifügung, die auf einem Teil-Ganzes-Verhältnis beruht) bzw. um einen partitiven Genitiv (= eine Beifügung, die auf einem Teil-Ganzes-Verhältnis beruht und im Genitiv steht). Diese Beifügungen (auch Attribute genannt) treten häufig nach Maß- oder Mengenangaben auf:
Beispiel
(1) Eine Kanne grüner Tee (Nominativ)
(2) Eine Tasse schwarzer Kaffee (Nominativ)
In Beispiel (1) ist „Kanne“ die Mengenangabe und gleichzeitig ein Teil aus der Gesamtmenge „grüner Tee“. In Beispiel (2) ist „Tasse“ die Mengenangabe und gleichzeitig ein Teil aus der Gesamtmenge „schwarzer Kaffee“. Beide Beispiele werden als partitive Appositionen bezeichnet. Appositionen richten sich in ihrem Kasus immer nach dem Kasus ihres Bezugswortes. Dies wird auch als Kasuskongruenz bezeichnet (vgl. dazu Dudengrammatik (2009): S. 980, § 1553).
In Beispiel (2) steht das Substantiv „Tasse“ im Nominativ, weshalb auch die Apposition „schwarzer Kaffee“ im Nominativ steht (dasselbe gilt auch für Beispiel (1)). Ändert sich der Kasus des Bezugswortes, gleicht sich die Apposition also immer dem Kasus des Bezugswortes an, wie die Beispiele (3) und (4) verdeutlichen:
Beispiel
(3) Ich schenke dir eine Tasse schwarzen Kaffee ein. (Akkusativ)
(4) Mit einer Tasse schwarzem Kaffee wird dir bald wieder besser sein. (Dativ)
Statt der partitiven Apposition, die sich dem jeweiligen Kasus des Bezugswortes anpasst, kann nun aber auch der partitive Genitiv verwendet werden (vgl. dazu: Dudengrammatik (2009), S. 984, § 1557). Hierbei passt sich der Kasus der Beifügung nicht an das Bezugswort an, sondern steht stets im Genitiv:
Beispiel
(2a) Eine Tasse schwarzen Kaffees. (Genitiv)
(3a) Ich schenke dir eine Tasse schwarzen Kaffees ein. (Genitiv)
(4a) Mit einer Tasse schwarzen Kaffees wird dir bald wieder besser sein. (Genitiv)
Sprachgebrauch
Was den Sprachgebrauch betrifft, so wird beispielsweise durch eine Google-Suche deutlich, dass die Variante mit der partitiven Apposition weitaus häufiger gebraucht wird (ca. 80.000 Belege) als der partitive Genitiv (ca. 7.000 Belege). Zwar überwiegt aus der Sicht der Sprachbenutzer die Variante mit der partitiven Apposition, aus sprachsystematischer Sicht haben jedoch beide Varianten ihre Berechtigung. Sie haben also freie Wahl, was die beiden Varianten betrifft.