Sie kann mit dem Fahrrad nach Hause fahren oder Sie kann mit Fahrrad nach Hause fahren

Wie ich auf die Frage gestoßen bin:
Familiäre Diskussion, wie die Tochter nach Hause kommen soll.

Mit folgendem Nachschlagewerk versuchte ich dieser Frage auf den Grund zu gehen:
Internet

Ich meine beides ist korrekt. Im ersten Fall steht halt ihr Fahrrad im Vordergrund, im zweiten Fall geht es mehr um die Tätigkeit.

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Sprachsystem

Sie thematisieren in Ihrer Frage, ob ein Artikel nach einer Präposition realisiert werden muss. Sie haben dazu zwei Varianten gegenübergestellt:

1. Sie kann mit dem Fahrrad nach Hause fahren.
2. Sie kann mit Fahrrad nach Hause fahren.

Laut Dudengrammatik (Duden Band 4) ist das Vorkommen eines Artikels im Deutschen von verschiedenen Faktoren abhängig. In Verbindung mit Präpositionen sind je nach Präpositionen Schwankungen auszumachen, ob nach der Präposition ein Artikel folgt. So folgt beispielsweise auf die Präpositionen per und pro selten ein Artikel:

per Luftpost/ Nachnahme; per Zug (aber nur: mit dem Zug; mit dem Flugzeug) (Beispiel aus der Dudengrammatik)
pro Kilometer/ Stunde (Beispiel aus der Dudengrammatik)

Auch bei der Präposition mit, welche in Ihrem Beispiel vorliegt, kann es zu Schwankungen kommen:

Erst mit Einbruch der Dunkelheit… (Beispiel aus der Dudengrammatik)
Erst mit dem Einbruch der Dunkelheit… (Beispiel aus der Dudengrammatik)

Die Beispiele zur Präposition per zeigen, dass diese Präposition je nach Kontext die Präposition mit ersetzen kann, ohne dass eine semantische Verschiebung stattfindet:

Sie kann mit Fahrrad nach Hause fahren.
Sie kann per Fahrrad nach Hause fahren.

Die Ausführungen zu per zeigen jedoch, dass die alternative Verwendung von mit nur mit Artikel gebräuchlich ist, sofern inhaltlich ein Instrument oder ein Mittel angeschlossen wird. So ist es auch in Ihrem Ausgangsbeispiel: Die Wortgruppe mit Fahrrad zeigt das Mittel an, mit welchem die Heimfahrt ermöglich wird. Das Beispiel ist also analog zu mit dem Zug oder mit dem Flugzeug zu sehen. Laut Dudengrammatik steht in diesem Kontext der Artikel nach der Präposition. Das Wörterbuch der sprachlichen Zweifelsfälle (Duden Band 9) verweist darauf, dass der Artikelgebrauch nach Präpositionen die Regel darstellt und nur in bestimmten Fällen weglassbar ist. So ist der Artikel nach einer Präposition bei Überschriften oder Stoffbezeichnungen weglassbar. Dies trifft jedoch nicht auf Ihr Beispiel zu, weshalb die erste Variante mit Artikel zu empfehlen ist.

 

Sprachgebrauch

Eine Sprachgebrauchsanalyse soll zeigen, inwieweit beide Varianten im Sprachgebrauch vorkommen. Dazu wurde eine Recherche im Deutschen Referenzkorpus (DeReKo) vorgenommen. Die Suche nach der Variante „fährt mit [Artikel] [Substantiv]“ ergab insgesamt 1.030 Treffer:

Der Bernhardzeller selbst fährt mit dem Postauto zur Arbeit nach St. Gallen. (DeReKo)
Eine Gruppe von Umweltschützern fährt mit dem Fahrrad von Potsdam zur Klimakonferenz nach Bonn. (DeReKo)

Insgesamt 30 Treffer ergab die Suche nach „fährt mit [Substantiv]“:

Volltrunkener fährt mit Fahrrad zur Polizei. (DeReKo)

Der Beleg ist exemplarisch für die Struktur der meisten Treffer der Suche, da es sich hier wahrscheinlich um eine Überschrift o. ä. handelt. Es liegt kein Artikel in dem Beispiel vor, was auf eine generell elliptische Formulierung schließen lässt.

 

Fazit
Auch die Sprachgebrauchsanalyse zeigt, dass auf die Präposition mit in der Regel ein Artikel folgt. In manchen Fällen kann mit analog zu per verwendet werden, jedoch folgt auch in diesen Kontexten ein Artikel auf mit. Daher sind Sie mit folgender Variante auf der sicheren Seite:

Sie kann mit dem Fahrrad nach Hause fahren.

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"Sie kann mit dem Fahrrad nach Hause fahren oder Sie kann mit Fahrrad nach Hause fahren"

Offensichtlich wollen Sie mit diesem Satz deutlich ausdrücken, dass "sie" wirklich keine Wahl hat, und das ist Ihnen gelungen.