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Die Beantwortung Ihrer Frage ist Teil eines Forschungsprojekts zur Verständlichkeit von grammatischen Erklärungen. Wir bitten Sie deshalb darum, im Anschluss an die Lektüre der Antwort die Tools zur Bewertung (Fragebogen, Sternchenfunktion, Antwortoption) zu nutzen.
Sprachsystem
Aus unserer Sicht sind beide Varianten möglich. Mit den unterschiedlichen Verben werden unterschiedliche Perspektiven auf den Sachverhalt realisiert. Man bezeichnet solche Unterschiede in der zeitlichen Perspektivierung durch einzelne Verben als Aktionsarten. Das Verb beginnen ist ein so genanntes inchoatives oder ingressives Verb, mit dem der Beginn des beschriebenen Sachverhalts ausgedrückt wird. Hier wird also der Schwerpunkt darauf gelegt, dass ein vorher nicht vorhandener Sachverhalt eintritt. Beim Verb nehmen dagegen geht es nicht um den Moment des Eintretens des beschriebenen Sachverhalts, sondern es ist quasi durativ, d.h., es bezeichnet das Andauern des beschriebenen Sachverhalts.
Sprachgebrauch
Auch wenn aus sprachsystematischer Sicht beide Varianten möglich sind, bedeutet das nicht, dass beide gleich gebräuchlich sind. Eine Google-Recherche ergibt nur 72.400 Treffer für "beginnt seinen Lauf" gegenüber 1.990.000 Treffern für "nimmt seinen Lauf". Das deutet darauf hin, dass die Variante mit nehmen stärker konventionalisiert ist.
Sie müssen also entscheiden, ob Sie den durch den Sprachgebrauch abgebildeten Konventionen folgen wollen, oder ob es Ihnen gerade um eine inchoative Lesart geht.