Ihre Frage thematisiert einen klassischen Zweifelsfalls: die
Flexion (Beugung / Deklination) aufeinanderfolgender Adjektive. Grundsätzlich wird bei Adjektiven zwischen einer starken und einer schwachen Flexion unterschieden. Kurz erklärt: Geht einem Adjektiv ein Artikelwort voraus, so übernimmt dieses die Aufgabe, den Kasus (Fall) einer Wortgruppe anzuzeigen (zu markieren). Folgt ihm nun ein Adjektiv, dann ist dieses Adjektiv bloß ein
Nebenmerkmalträger und die Flexion des Adjektivs wird als
schwach bezeichnet (1). Fehlt jedoch das Artikelwort, so muss das Adjektiv die Aufgabe der Kasusmarkierung übernehmen. Es spielt nun keine Nebenrolle mehr, sondern es wird ein
Hauptmerkmalträger. Hier wird von einer
starken Adjektivflexion gesprochen (2). In den folgenden beiden Beispielen sind für Sie die jeweiligen Hauptmerkmalträger hervorgehoben.
(1)
Sie arbeitet mit einem bewundernswerten Engagement. (Schwache Adjektivflexion)
(2)
Sie arbeitet mit bewundernswertem Engagement. (Starke Adjektivflexion)
Weitere die Adjektivflexion betreffende Informationen finden Sie in der Duden Grammatik unter der Randnummer 488.
Werfen wir nun in Ihrem Beispiel einen Blick auf die Präposition, denn diese gibt den Kasus vor. In Ihrem Beispiel ist
mit die Präposition. Sie erfordert hier den Dativ. Zur Orientierung werden Ihnen in der nachfolgenden Übersicht die Dativ-Endungen bei Adjektiven angegeben.
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Da in Ihrem Beispiel kein Artikelwort vorhanden ist, das den Kasus markiert, fällt diese Aufgabe, wie bereits erwähnt, dem Adjektiv zu. Sie haben sich in beiden Varianten mit
gelebtem bereits für eine starke Flexion im Dativ Singular Neutrum entschieden. Doch wie verhält es sich sodann mit den nachfolgenden Adjektiven sozial und ökologisch? Hier sind zwei Erklärungsansätze interessant.
Ein Erklärungsansatz ist das Prinzip der
Parallelflexion (Nebenordnung). Parallelflexion bedeutet, dass alle Adjektive einer Wortgruppe in gleicher Weise, also parallel, entweder stark oder schwach flektiert werden. Das bedeutet auch, dass alle Adjektive entweder zu einem
Nebenmerkmalträger oder zu einem
Hauptmerkmalträger werden (Duden Grammatik, Randnummer 1518). Demzufolge lautet es
mit gelebtem sozialem und ökologischem Engagement (Variante II). Ferner betont die
Kongruenz (Übereinstimmung) die Zusammengehörigkeit der einzelnen Adjektive (Duden Grammatik, Randnummer 1514). Auch die Konjunktion
und verdeutlicht, dass beide Adjektive den Kasus markieren, denn sie reiht gleichrangige Einheiten aneinander.
Das Wörterbuch der sprachlichen Zweifelsfälle (Duden 9) und die Duden Grammatik weisen jedoch darauf hin, dass aufgrund sprachlicher Tendenzen Abweichungen von dieser Regel existieren. Bei einer starken Parallelflexion im Dativ Singular ist es möglich, einzig das erste Adjektiv stark zu flektieren (Duden Grammatik, Randnummer 1527). Dies wird als
Monoflexion oder als
Wechselflexion (Unterordnung) bezeichnet. Die Adjektive
sozial und
ökologisch bilden hier eine Bedeutungseinheit mit dem Substantiv
Engagement. Das heißt weiter, dass die Adjektive
sozial und
ökologisch als Bestandteil des Substantivs dem stark flektierten Adjektiv
gelebtem untergeordnet und aufgrund dieser Unterordnung schwach flektiert werden. Die Adjektive als Bestandteil des Substantivs werden durch
gelebtem näher umschrieben (modifiziert). Diesem zweiten Erklärungsansatz folgend wäre Ihre Variante I
mit gelebtem sozialen und ökologischen Engagement ebenso akzeptabel.
Streben Sie jedoch bewusst eine Betonung der Nebenordnung der verwendeten Adjektive an, also im Sinne der Parallelflexion, so empfiehlt der Duden 9 überdies die Verwendung eines Kommas; vorausgesetzt eine sinnvolle Lesart bleibt erhalten (Duden 9, S. 29f., Adjektive 1.4.).
Abschließend können wir festhalten, dass beide Varianten als korrekt zu betrachten sind. Die Parallelflexion (Variante II) ist dabei traditionell das Mittel der Wahl (bspw. Duden Grammatik, Randnummer 1527, Punkt (ii)). Variante I ist tendenziell umgangssprachlicher Natur. Für welche Variante Sie sich letztlich entscheiden, bleibt Ihnen überlassen.