Mit Ihrer Frage thematisieren Sie die Adjektivflexion nach der Präposition
zu. Ihr Beispiel enthält ein Nomen
Einladung, das durch ein
Präpositionalattribut zu […] Geburtstag erweitert worden ist. Ein
Attribut dient der näheren Beschreibung seines Bezugswortes (die Einladung wird dadurch näher spezifiziert). Auch der Geburtstag wird zum einen durch den Namen
Jules und zum anderen durch das als Adjektiv gebrauchte Zahlwort
fünftem/n näher definiert.
Jules bezeichnet man daher als
Genitivattribut (aufgrund des Kasus, in dem
Jules steht) und
fünftem/n als
Adjektivattribut.
Nun zu Ihrer Frage:
Präpositionen wie
zu fordern gemeinhin einen bestimmten Kasus, in den die darauffolgende Wortgruppe gesetzt werden muss. Man spricht von
Rektion.
Dementsprechend gibt es Präpositionen, die den
Genitiv regieren:
Angesichts der erdrückenden Beweislage (Angesichts wessen? – Der erdrückenden Beweislage) denke ich, dass du der Täter bist.
… Präpositionen, die den
Dativ voraussetzen:
Dank der ertragreichen Ernte (Dank wem? – Der ertragreichen Ernte) haben wir nun genügend Kartoffeln.
Laut dem Wetterbericht soll es die nächsten Tage schön sonnig werden.
… Präpositionen, die den
Akkusativ fordern:
Durch das laute Geschrei (Durch wen oder was? – Das laute Geschrei) meiner kleinen Schwester bin ich wach geworden.
Ohne Zucker schmeckt der Kaffee nicht.
… sogenannte
Wechselpräpositionen, die sowohl Dativ als auch Akkusativ zulassen (jedoch für unterschiedliche Aussagen: Lage vs. Richtung):
Ich befinde mich gerade im Wald (Wo befinde ich mich? = Lage). vs. Ich gehe in den Wald (Wohin gehe ich? = Richtung).
Der Hund liegt unter dem Tisch. vs. Der Hund geht unter den Tisch.
und Präpositionen, die
mehr als zwei Kasus tolerieren:
Plus einem Senior/ einen Senior/ eines Seniors kostet die Fahrt 10€.
Die Präposition
zu aus Ihrem Beispiel regiert den Dativ. Folglich muss auch das Adjektiv im Dativ stehen, da Adjektive die Eigenschaft aufweisen, mit dem Nomen, auf das sie sich beziehen, in
Kongruenz zu treten (den Kasus, Numerus und Genus anzunehmen). An dieser Stelle ergeben sich zwei Möglichkeiten, die Form des Adjektivs zu bilden. Es wird zwischen
schwacher und starker Deklination unterschieden.
Schwach deklinierte (gebeugte) Adjektive stehen
mit einem
Artikel, an dem die grammatischen Kategorien (Kasus, Numerus, Genus) realisiert wurden. Man bezeichnet den Artikel daher als
Hauptmerkmalträger der Nominalgruppe. An dieser Stelle ein Beispiel:
Die Mutter des ungezogenen Kindes schimpfte mit diesem.
Der Artikel
des trägt die Information Genitiv, Singular (Einzahl) und maskulin oder neutrum. Er stimmt in diesen Kategorien mit dem Nomen
Kindes überein (die Entscheidung fällt nun auf neutrum).
Im Unterschied hierzu kann ein Adjektiv auch
stark dekliniert werden. Stark deklinierte Adjektive stehen
ohne Artikel. Sie übernehmen daher die Aufgabe des
Hauptmerkmalträgers der Nominalgruppe.
(1) Schwache Deklination: Der kalte Auflauf schmeckt mir nicht mehr.
(1’) Starke Deklination: Kalter Auflauf schmeckt mir nicht mehr.
Auf Ihr Beispiel übertragen:
Schwache Deklination: zu dem fünften Geburtstag
Starke Deklination: zu Jules fünftem Geburtstag
Es wird also deutlich, dass kein Artikel vorliegt und das Adjektiv als Hauptmerkmalträger demnach stark dekliniert werden muss. Die richtige Form lautet
fünftem.