Mit folgendem Nachschlagewerk versuchte ich dieser Frage auf den Grund zu gehen:
Duden
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Die Beantwortung Ihrer Frage ist Teil eines Forschungsprojekts zur Verständlichkeit von grammatischen Erklärungen. Wir bitten Sie deshalb darum, im Anschluss an die Lektüre der Antwort die Tools zur Bewertung (Fragebogen, Sternchenfunktion, Antwortoption) zu nutzen.
Sprachsystem
Wenn man eine relativ fest gefügte Wendung wie das eine ..., das andere ... in einer konkreten Äußerung an die jeweiligen Gegebenheiten anpassen muss, kann man schon in Zweifel geraten, ob dies allgemein anerkannt ist. In Ihrem Fall soll die Wendung mit dem possessiven (besitzanzeigenden) Artikelwort sein kombiniert werden, wobei sich die Frage stellt, ob man besser das eine seiner Beine oder sein eines Bein sagen sollte.
Aus grammatischer Sicht sind beide Varianten korrekt. Das unbestimmte Zahladjektiv ein kann durchaus zwischen einem Substantiv und dem dazugehörigen possessiven Artikelwort stehen, wie auch die Dudengrammatik an einem Beispiel zeigt.
Beispiel
Unsere eine Katze heißt Max, unsere andere Moritz. (Dudengrammatik, S. 333)
Die von Ihnen vorgeschlagene Variante Sein eines Bein war verletzt, sein anderes heil ist analog zu diesem Beispiel, allerdings wird diese Konstruktion vom Duden als umgangssprachlich bezeichnet. Keine solche Einschränkung scheint bei der alternativen Konstruktion Das eine seiner Beine war verletzt, das andere heil zu bestehen, bei der sich seiner Beine als Genitivattribut an das eine anschließt.
Sprachgebrauch
Eine Untersuchung mit Hilfe der Suchmaschine Google deutet darauf hin, dass die Konstruktion „sein eines Bein“ (24.800 Funde = 78 %) im tatsächlichen Sprachgebrauch häufiger verwendet wird als die Konstruktion „das eine seiner Beine“ (ca. 7.040 Funde = 22 %). Eine mögliche Ursache hierfür könnte sein, dass Google eben nicht nur Belege für einen standardsprachlichen Gebrauch liefert, sondern auch umgangssprachliche Belege, z. B. aus Internetforen.