In Ihrem Fall sprechen folgende Ergebnisse aus dem Korpus DeReKo des Instituts für deutsche Sprache in Mannheim dafür, dass beide Varianten auftreten:
In diesem Jahr geht es von Kapstadt über Lesotho, Swasiland, Mosambik, Malawi, Tansania, Burundi, Ruanda und Uganda nach Nakuru. Wer die Männer bei ihrem Abenteuer begleiten will, kann dies im Internet tun […]
(Braunschweiger Zeitung, 11.04.2013, Ressort: 1SZ-Lok; Hilfe für Aids-Waisen in Kenia.)
Aus diesem alten Mann mit langem grauem Bart sollte später Gandalf werden, eine der zentralen Figuren der Geschichte, die Bilbo und die 13 Zwerge auf ihrem Abenteuer begleitet.
(Nürnberger Nachrichten, 15.10.2016, S. 16; Der Ring lag in der Schweiz - J.R.R. Tolkien ließ sich für seine Herr-der-Ringe-Trilogie vom Aletschgletschergebiet im Wallis inspirieren.)
Sprachgebrauchsdaten anhand einer Google-Suche zeigen folgendes Verhältnis:
"auf ihrem Abenteuer begleiten": 952 Ergebnisse
„bei ihrem Abenteuer begleiten“: 910 Ergebnisse
Demnach bestätigt die Anzahl der Ergebnisse, dass beide Varianten ungefähr gleichberechtigt auftreten.
Hinweis zu Googledaten:
Die Sprachgebrauchsdaten werden in der Regel mit dem wissenschaftlich fundierten Recherchesystem des Instituts für deutsche Sprache Mannheim COSMAS II erhoben und durch Googlebefunde ergänzt. Die Googlesuche ist vor allem notwendig, wenn in der Textsammlung des IdS (DeReKo = Deutsches Referenzkorpus), obwohl diese inzwischen 24 Milliarden Wortformen umfasst, die gefragten Varianten nur relativ selten oder gar nicht vorkommen. Bei Google finden sich häufig deutlich mehr Treffer, die Zahlen sind aber aus den folgenden beiden Gründen mit Vorsicht zu genießen:
1. Google unterscheidet nicht zwischen "echten" Sprachgebrauchstreffern und metasprachlichen Diskussionen. Die Frage zu downgeloadet/gedownloadet in unserem Forum bspw. ist auch ein Treffer bei Google. Insgesamt betrachtet machen die metasprachlichen Diskussionen aber in aller Regel den deutlich geringeren Anteil an den Gesamttreffern aus.
2. Google bemüht sich um personalisierte und schnelle Suchergebnisse, die Treffergenauigkeit steht hier also nicht im Vordergrund. Dennoch - und deshalb wird hier trotz der genannten Einschränkungen auf Google zurückgegriffen - lassen sich doch Eindrücke über allgemeine Gebrauchstendenzen gewinnen.
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